【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是函數(shù)的極值點,求函數(shù)在上的最大值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù),使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個交點?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)a≥0;(2)(-7,-3)∪(-3,+∞).
【解析】【試題分析】(1)先對函數(shù)求導得f′(x)=3x2+2ax-3,再將問題轉(zhuǎn)化為在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,從而求出實數(shù)a的取值范圍;(2)先借助題設極值點是建立方程求出a=4,再運用導數(shù)知識求出其最大值;(3)先將問題轉(zhuǎn)化為方程x3+4x2-3x=bx恰有3個不等實根,進而轉(zhuǎn)化為方程x2+4x-(3+b)=0有兩個非零不等實根,然后運用二次方程的根與系數(shù)之間的關系及判別式建立不等式組,通過解不等式組使得問題獲解:
(1)f′(x)=3x2+2ax-3,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0.
∴-≤1且f′(1)=2a≥0.
∴a≥0.
(2)由題意知f′=0,即+-3=0,
∴a=4.
∴f(x)=x3+4x2-3x.
令f′(x)=3x2+8x-3=0得x=或x=-3.
∵f(-4)=12,f(-3)=18,f=-,f(1)=2,
∴f(x)在[-a,1]上的最大值是f(-3)=18.
(3)若函數(shù)g(x)=bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點,即方程x3+4x2-3x=bx恰有3個不等實根.
∵x=0是其中一個根,
∴方程x2+4x-(3+b)=0有兩個非零不等實根.
∴
∴b>-7且b≠-3.
∴滿足條件的b存在,其取值范圍是(-7,-3)∪(-3,+∞).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科,它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路.按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖:
若記圖乙中第行白圈的個數(shù)為,則__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l經(jīng)過點D(-2,0),且斜率為k.
(1)求以線段CD為直徑的圓E的方程.
(2)若直線l與圓C相離,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1) 求{an}的通項公式;
(2) 求證:++…+<1對任意正整數(shù)m都成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線l經(jīng)過兩直線l1:2x-y+4=0與l2:x-y+5=0的交點,且與直線x-2y-6=0垂直.
(1)求直線l的方程.
(2)若點P(a,1)到直線l的距離為,求實數(shù)a的值.
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【題目】在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的搭配方案,需要對各種不同的搭配方式作比較.在試制某種牙膏新品種時,需要選用兩種不同的添加劑.現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗設計原理,通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗.(寫解題過程)
(1)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率;
(2)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率.
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