Question

已知數(shù)列{a_n}中，在直線y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅲ）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出λ．若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點(diǎn)（n、2a_n+1-a_n）代入直線方程可得2a_n+1=a_n+n代入b_n和b_n+1中兩式相除結(jié)果為常數(shù)，故可判定{b_n}為等比數(shù)列．
（II）由（I）可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（III）把數(shù)列a_n}、{b_n}通項(xiàng)公式代入a_n+2b_n，進(jìn)而得到S_n+2T的表達(dá)式代入T_n，進(jìn)而推斷當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
解答：解：（I）由已知得，
∵，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴
∴{b_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
（II）由（I）知，，
∴，
∴，，
…
∴，
將以上各式相加得：
∴，
∴
∴
（III）存在λ=2，使數(shù)列是等差數(shù)列．
由（I）、（II）知，a_n+2b_n=n-2
∴=
又
∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系和等差關(guān)系的確定．要利用好a_n和a_n-1的關(guān)系．