Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=4，前n項和為S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令b_n=f′（1），求數(shù)列{b_n}的通項公式，并研究其單調(diào)性．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺），求得S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0兩式相減求得a_n+1-3a_n+2=0，判斷出{a_n+1}是一個等比數(shù)列．進而根據(jù)首項和公比求得數(shù)列的通項公式；
（2）化簡b_n得b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁．利用錯位相減法得出{b_n}的通項公式．然后利用導(dǎo)數(shù)法確定其單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）  ①
∴S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0（n∈N⁺）  ②
①-②得a_n+1-3a_n-2=0，
即a_n+1+1=3（a_n+1）
∴{a_n+1}是首項為5，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_n+1=5•3^n-1，
即a_n═5•3^n-1-1．
（2）∵f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，
∴f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+na₁x^n-1
∴b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁ =（5×3^n-2-1）+…+n（5×3⁰-1）
=5[3^n-1+2×3^n-2+…+n×3⁰]-

n(n+1)

2

，
令S=3^n-1+2×3^n-2+…+n×3⁰，則3S=3ⁿ+2×3^n-1+…+n×3¹．
作差得S=-

n

2

-

3-3n+1

4

．
于是，b_n=f′（1）=

5×3n+1-15

4

-

n(n+6)

4

，而bn+1=

5×3n+2-15

4

-

(n+1)(n+7)

4

，
作差得bn+1-bn=

15×3n

2

-

n

2

-

7

4

＞0
∴{b_n}是遞增數(shù)列．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義，借助數(shù)列的遞推式把數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列來解決問題的方法．考查錯位相減法求和，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性等知識的綜合應(yīng)用．屬于難題．