Question

已知函數(shù)f(x)=lg

a-x

1+x

，
（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]內(nèi)有意義，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）在（m，n）上的值域?yàn)椋?1，+∞），求（m，n）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（x）+f（-x）=0對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都成立，即lg

a-x

1-x

+lg

a+x

1-x

=0，整理可求a
（Ⅱ）由題意可得，在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0恒成立，從而可求a的范圍
（Ⅲ）結(jié)合t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

，y=lgt的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知y=f(x)=lg

1-x

1+x

是減函數(shù)，從而可得f（n）=-1，f（m）無(wú)意義，可求

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（x）+f（-x）=0對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都成立
∴lg

a-x

1-x

+lg

a+x

1-x

=0
∴

(a-x)(a+x)

1-x2

=1
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）解：∵若f（x）在（-1，5]內(nèi)恒有意義，則在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0
∵x+1＞0
∴a-x＞0
∴a＞x在（-1，5]上恒成立
∴a＞5…（10分）
（Ⅲ）∵x∈（-1，1）時(shí)，t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

是減函數(shù)
y=lgt在定義域內(nèi)是增函數(shù)（13分）
∴y=f(x)=lg

1-x

1+x

在（-1，1）上是減函數(shù)
∵f（x）在（m，n）上的值域?yàn)椋?1，+∞），且函數(shù)單調(diào)遞減
∴（m，n）⊆（-1，1）
∴函數(shù)f（x）在x=n處取得函數(shù)的最小值-1，
∴f(n)=lg

1-n

1+n

=-1，f（m）沒(méi)有意義
∴

1-n

1+n

=

1

10

∴n=

9

11

，m=-1
∴（m，n）=(-1，

9

11

)…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．