Question

已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f′（x₀）=f（x₀），則稱x₀是f（x）的一個(gè)“和諧點(diǎn)”，下列函數(shù)中①f（x）=x²；②f（x）=

1

ex

；③f（x）=lnx；④f（x）=x+

1

x

，存在“和諧點(diǎn)”的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件f（x₀）=f′（x₀），確實(shí)是否有解即可．

解答： 解：①中的函數(shù)f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，解得x=0或2，可見(jiàn)函數(shù)有和諧點(diǎn)；
對(duì)于②中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則e^-x=-e^-x，由對(duì)任意的x，有e^-x＞0，可知方程無(wú)解，原函數(shù)沒(méi)有和諧點(diǎn)；
對(duì)于③中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則lnx=

1

x

，由函數(shù)f（x）=lnx與y=

1

x

的圖象它們有交點(diǎn)，因此方程有解，原函數(shù)有和諧點(diǎn)；
對(duì)于④中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
顯然函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點(diǎn)，原函數(shù)有和諧點(diǎn)．
故答案為：①③④
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的方程的判斷，對(duì)于新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是理解其含義，本題的本質(zhì)是方程有無(wú)實(shí)根問(wèn)題．