Question

已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線l：x-y+10=0上．（1）若動(dòng)圓C過點(diǎn)（-5，0），求圓C的方程；（2）是否存在正實(shí)數(shù)r，使得動(dòng)圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有且只有一個(gè)？若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求動(dòng)圓的方程，可以利用待定系數(shù)法，由于半徑已知，故我們可以設(shè)圓心坐標(biāo)為待定系數(shù)，再根據(jù)圓心在直線l：x-y+10=0上，及圓C過點(diǎn)（-5，0），構(gòu)造方程組，解方程組求出待定的系數(shù)，即可得到圓的方程．
（2）兩圓外切，則R+r=d（其中d為圓心距），我們不妨假設(shè)r存在，然后分類討論，即可得到答案．
解答：解：（1）依題意，可設(shè)動(dòng)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=25，其中圓心（a，b）滿足a-b+10=0．
又∵動(dòng)圓過點(diǎn)（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25．
解方程組可得或
故所求的圓C方程為（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）圓O的圓心（0，0）到直線l的距離d==5．
當(dāng)r滿足r+5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相切的圓；
當(dāng)r滿足r+5=d，即r=5-5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切；
當(dāng)r滿足r+5＞d，與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有兩個(gè)．
綜上：r=5-5時(shí)，動(dòng)圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有一個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：求圓的方程時(shí)，據(jù)條件選擇合適的方程形式是關(guān)鍵．
（1）當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般式，通過解三元一次方程組來得相應(yīng)系數(shù)．
（2）當(dāng)條件中給出的圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式．