Question

已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上.

(1)若動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)(-5,0),求圓C的方程;

(2)是否存在正實(shí)數(shù)r,使得動(dòng)圓C中滿足與圓O:x²+y²=r²相外切的圓有且僅有一個(gè),若存在,請(qǐng)求出來(lái);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

（2）當(dāng)r滿足r+5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相外切的圓；

當(dāng)r滿足r+5＞d時(shí)，r每取一個(gè)數(shù)值，動(dòng)圓C中存在兩個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切；

當(dāng)r滿足r+5=d,即r=5-5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切.

解析:

(1)依題意,可設(shè)動(dòng)圓C的方程為

(x-a)²+(y-b)²=25,

其中圓心(a,b)滿足a-b+10=0.

又∵動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(-5,0),

故(-5-a)²+(0-b)²=25.

解方程組

可得或

故所求圓C的方程為

(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=.

當(dāng)r滿足r+5＜d時(shí)，動(dòng)圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相外切的圓；

當(dāng)r滿足r+5＞d時(shí)，r每取一個(gè)數(shù)值，動(dòng)圓C中存在兩個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切；

當(dāng)r滿足r+5=d,即r=5-5時(shí)，動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x²+y²=r²相外切.