已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-2)，
m
⊥
n
．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，cos B=
3
3
，求b的長．
分析：（1）由兩向量的坐標，根據(jù)兩向量垂直滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，整理后化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）∵
m
=（2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
），
n
=（cos
A
2
，-2），且
m
⊥
n
，
∴2
3
sin
A
2
cos
A
2
-2cos2
A
2
=
3
sinA-cosA-1=0，即
3
sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-
π
6
）=1，即sin（A-
π
6
）=
1
2
，
∵0＜A＜π，∴-
π
6
＜A-
π
6
＜
5π
6
，
∴A-
π
6
=
π
6
，即A=
π
3
；
（2）在△ABC中，A=
π
3
，a=2，cosB=
3
3
，
∴sinB=
1-cos2B
=
6
3
，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得：b=
asinB
sinA
=
2×
6
3
3
2
=
4
2
3
．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，向量
m
=（1，
3
），
n
=（sin（π-A）），sin（A-
π
2
）），
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2B+cos（
π
3
-2B）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-1)，
m
⊥
n
．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，cosB=
3
3
，求b的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A、B、C是△ABC 的內(nèi)角，a，b，c 分別是其對邊長，向量
m
=(2
3
sin
A
2
，cos2
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，-2)，
m
⊥
n
，且a=2，cosB=
3
3
．則b=
4
2
3
4
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，且A=
π
3
．
（1）若a=2．cosB=
3
3
，求b的長；
（2）設(shè)∠A的對邊a=1，求△ABC面積的最大值．

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