Question

已知角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對(duì)邊長，向量

m

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，-1)，

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，cosB=

3

3

，求b的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

m

⊥

n

=0，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，提取2后，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出此角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由B的范圍及cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，然后由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)•(cos

A

2

，-1)=

3

sinA+(cosA+1)×(-1)=0，
∴

3

sinA-cosA=1，（4分）
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，（6分）
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，（8分）∴A=

π

3

；（9分）
（2）在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 1 3

=

6

3

，（10分）
由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，（11分）
∴b=

asinB

sinA

═

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

．
∴b=

4 2

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，三角函數(shù)的恒等變換及正弦定理．要求學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿足的關(guān)系及正弦函數(shù)的值域，牢記特殊角的三角函數(shù)值．