Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這3個景點的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值．
（1）求ξ的分布；
（2）求ξ的數學期望及方差；
（3）記“函數f（x）=x²-2ξx+lnx是單調增函數”為事件A，求事件A的概率．
（可能用到的數據：0.76²≈0.58，0.48²≈0.23，1.52²≈2.31，0.24²≈0.06）

Answer 1

分析：（1）客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3．相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

），由此能求出ξ的分布列；
（2）由（1）求出ξ的數學期望與方差；
（3）由于函數f（x）=x²-2ξx+lnx是單調增函數，故f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0恒成立，解得ξ≤

2

，進而得到事件A的概率．

解答：解：（1）∵ξ=1表示客人游覽了1個景點或2個景點
∴P（ξ=1）=1-0.4×0.5×0.6-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.76…（2分）
∵ξ=3表示客人游覽了0個景點或3個景點
∴P（ξ=3）=（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）+0.4×0.5×0.6=0.24…（5分）
故ξ的分布為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

（2）E（ξ）=1×0.76+3×0.24=1.48…（8分）
D（ξ）=（1-1.48）²×0.76+（3-1.48）²×0.24=0.23×0.76+2.31×0.24=0.7292
…（11分）
（3）∵函數f（x）=x²-2ξx+lnx是單調增函數
∴f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0
∴ξ≤x+

1

2x

（x＞0）
∵x+

1

2x

≥

2

∴ξ≤

2

…（14分）
∴P(A)=P(ξ≤

2

)=P(ξ=1)=0.76…（16分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差以及導數有關的不等式恒成立問題，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．