Question

（2012•寶雞模擬）某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響．
（1）求客人游覽2個(gè)景點(diǎn)的概率；
（2）設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”和“客人游覽丙景點(diǎn)”為A₁，A₂，A₃，由題設(shè)條件知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，則游覽兩個(gè)景點(diǎn)的概率為：P（A₁•A₂•

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P(

.

A1

A2A3)，由此能夠求出結(jié)果．
（2）客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3．相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、
“客人游覽乙景點(diǎn)”和“客人游覽丙景點(diǎn)”為A₁，A₂，A₃，
由題設(shè)條件知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
則游覽兩個(gè)景點(diǎn)的概率為：
P（A₁•A₂•

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P(

.

A1

A2A3)
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3．
相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

數(shù)學(xué)期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．