Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以橢圓的
左頂點(diǎn)為圓心作圓，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，且直線、分別與軸交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

（1）；（2）的最小值為，此時(shí)圓的方程為；
（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用圓的方程的求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、的關(guān)系求出，最后確定橢圓的方程；（2）先根據(jù)點(diǎn)、的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)，將表示為的二次函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，利用二次函數(shù)求出的最小值，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)，求出、的方程，從而求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)在橢圓上來(lái)證明為定值.
（1）依題意，得，，，，
故橢圓的方程為；
（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)、， 不妨設(shè)，
由于點(diǎn)在橢圓上，所以，  （*）       
由已知，則，，
，
，
由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
由（*）式，，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到，
故圓的方程為：；
（3）設(shè)，則直線的方程為：，
令，得， 同理：，
故     （**）
又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，，
代入（**）式，得：

所以為定值.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.直線與橢圓的位置關(guān)系