Question

（2012•上饒一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，且bn=a2n-2，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2，3代入已知遞推公式中即可求解a₂，a₃，a₄；
（2）由等比數(shù)列的定義，只要證明

bn

bn-1

為常數(shù)即可，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（3）由a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n，可利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：（1）解：∵a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，
∴a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

…（2分）
（2）證明：由題意可得，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=a2n-2=a(2n-1)+1-2=

1

2

a2n-1+(2n-1)-2=

1

2

[a2n-2-2(2n-2)]+(2n-1)-2=

1

2

[a2(n-1)-2]=

1

2

bn-1
∴又b1=a2-2=-

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是以-

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴bn=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n…（6分）
（3）解：∵a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n+2n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）+2n]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）+4n
=1-2×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4×

n(n+1)

2

+4n=(

1

2

)n-1-2n2+2n-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題 主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，等比數(shù)列的定義在等比數(shù)列的證明中的應(yīng)用，分組求和方法及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式等 知識(shí)的綜合應(yīng)用