Question

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．

（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

【答案】（1）名；（2）萬元．

【解析】

（1）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為；4臺機器相當(dāng)于4次獨立重復(fù)試驗，設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，，求出對應(yīng)概率值，寫出分布列，計算“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”的概率不少于90%的對應(yīng)工人數(shù)；

（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，Y的所有可能取值為18，13，8，計算對應(yīng)的概率值，求出分布列與數(shù)學(xué)期望值．

（1）設(shè)“機器出現(xiàn)故障設(shè)”為事件，則．

設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，則，

，

，

，

，

．

故的分布列為

	0	1	2	3	4

設(shè)該廠有名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”為，，，，…，，這個互斥事件的和事件，則

	0	1	2	3	4

因為，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于．

（2）設(shè)該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8，

，

，

．

故的分布列為

	18	13	8

所以，

故該廠獲利的均值為萬元．