【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若為函數(shù)的極小值點,求的取值范圍,并求的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若,,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),的遞減區(qū)間和,遞增區(qū)間為,(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求出函數(shù)導數(shù),分類討論或,判斷的正負即可求解.
(Ⅱ)令,且,求出,令,且,求出在上單調遞增,進而分類討論或,求出的單調區(qū)間,即可求出的單調區(qū)間,判斷的正負即可求解.
(Ⅰ)由題意知:,且,
若,即時,當,,所以不可能為的極小值點;
若,即時,令;
令或,
所以的遞減區(qū)間和,遞增區(qū)間為,
所以為函數(shù)的極小值點,
綜上:,的遞減區(qū)間和,遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)令,
則,
,
令,則,
因為,令,
則,,
所以在上單調遞增,所以,
(1)當,即時,,,所以在上單調遞增,所以對恒成立.
所以恒成立,所以在上單調遞增,所以,,符合題意;
(2)當,即時,因為,
又且,
又在上連續(xù)且單調遞增,所以存在,使得,此時,當時,,所以單調遞減,所以,
所以,所以在單調遞減,
所以,,矛盾,舍去.
綜上:.
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【題目】已知為定義在上的奇函數(shù),當時,有,且當時,,下列命題正確的是( )
A.B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)
C.直線與函數(shù)的圖象有個交點D.函數(shù)的值域為
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【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)設,當函數(shù)與的圖象有三個不同的交點時,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性;
(2)是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1?若存在,求出的所有值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知拋物線,過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點,滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點的坐標為,記直線、的斜率分別為,,求的最小值.
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【題目】某省在2017年啟動了“3+3”高考模式.所謂“3+3”高考模式,就是語文、數(shù)學、外語(簡稱語、數(shù)、外)為高考必考科目,從物理、化學、生物、政治、歷史、地理(簡稱理、化、生、政、史、地)六門學科中任選三門作為選考科目.該省某中學2017級高一新生共有990人,學籍號的末四位數(shù)從0001到0990.
(1)現(xiàn)從高一學生中抽樣調查110名學生的選考情況,問:采用什么樣的抽樣方法較為恰當?(只寫出結論,不需要說明理由)
(2)據(jù)某教育機構統(tǒng)計,學生所選三門學科在將來報考專業(yè)時受限制的百分比是不同的.該機構統(tǒng)計了受限百分比較小的十二種選擇的百分比值,制作出如下條形圖.
設以上條形圖中受限百分比的均值為,標準差為.如果一個學生所選三門學科專業(yè)受限百分比在區(qū)間內,我們稱該選擇為“恰當選擇”.該校李明同學選擇了化學,然后從余下五門選考科目中任選兩門.問李明的選擇為“恰當選擇"的概率是多少?(均值,標準差均精確到0.1)
(參考公式和數(shù)據(jù):,)
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【題目】在平面直角坐標系中,,是曲線段:(是參數(shù),)的左、右端點,是上異于,的動點,過點作直線的垂線,垂足為.
(1)建立適當?shù)臉O坐標系,寫出點軌跡的極坐標方程;
(2)求的最大值.
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【題目】某廠有4臺大型機器,在一個月中,一臺機器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修,每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.
(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于?
(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修,能使該廠產生5萬元的利潤,否則將不產生利潤.若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值.
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