Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且對于任意的實數(shù)x，y有f（xy）=f（x）+f（y），當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（2）=1，對任意實數(shù)t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＞x₂，由此可得f(

x1

x2

)＞0，結(jié)合f（xy）=f（x）+f（y），得f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)，說明
f（x₁）＞f（x₂），得到f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由f（2）=1，得2=f（4），把對任意實數(shù)t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意實數(shù)t，

t2-kt+1＞0① t2+1≤4t2-4kt+4②

恒成立，分別求出使①，②恒成立時k的范圍取交集得答案．

解答： （1）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＞x₂，
則

x1

x2

＞1，∴f(

x1

x2

)＞0，
由f（xy）=f（x）+f（y），得
f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)，
∵f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由f（2）=1，得2=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）．
又對任意實數(shù)t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，
即f（t²+1）≤f（t²-kt+1）+f（4）=f（4t²-4kt+4）恒成立，
則對任意實數(shù)t，

t2-kt+1＞0① t2+1≤4t2-4kt+4②

恒成立．
由①得：（-k）²-4＜0，解得-2＜k＜2；
由②得：3t²-4kt+3≥0，則（-4k）²-4×3×3≤0，解得：-

3

2

≤k≤

3

2

．
∴實數(shù)k的取值范圍是[-

3

2

，

3

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了二次函數(shù)恒成立問題，是中高檔題．