Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x，求函數(shù)的最小正周期及最值，單增區(qū)間．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡可得函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$，由三角函數(shù)的周期性及其求法可求函數(shù)的最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，由正弦函數(shù)的圖象和性質即可求得最值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-[$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x]-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z），
∴函數(shù)的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為-$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質的應用，屬于基本知識的考查．