已知定義R+的函數(shù)f(x)滿足:對任意的x、y∈R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y).

(1)求證:f()=-f(x)(x∈R+);

(2)若x＞1時,恒有f(x)＜0,求證:f(x)必有反函數(shù);

(3)設(shè)f(x)的反函數(shù)是f-1(x),求證:f-1(x)對于定義域內(nèi)任意的x1、x2恒有f-1 (x1+x2)=f-1(x1)·f-1(x2).

證明:(1)對任意的x、y∈R+,

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,

令x=y=1,得f(1)=2f(1),可得f(1)=0.

而f(x)+f()=f(x·)=f(1),

即f(x)+f()=0.

由此可得f()=-f(x).

(2)任取x1、x2∈R+,且x1＜x2,則＞1.

∵x＞1時,f(x)＜0恒成立,可知f()＜0.

又f()=f(x2·)=f(x2)+f()=f(x2)-f(x1),

∴f(x2)-f(x1)＜0,即f(x1)＞f(x2).

由此可知f(x)是R+上的減函數(shù),故f(x)必有反函數(shù).

(3)設(shè)f-1(x1)=u1,f-1(x2)=u2,

則x1=f(u1),x2=f(u2).

∵f(u1·u2)=f(u1)+f(u2)=x1+x2,

∴f-1(x1+x2)=f-1［f(u1·u2)］

=u1·u2=f-1(x1)·f-1(x2).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
a•2x-12x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對任意的t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判斷并用定義法證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4x-b）+f（2x+1）有零點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
2x-b2x+a
是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）利用定義判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意t∈[0，1]，不等式f（2t2+kt）+f（k-t2）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省內(nèi)江市2009屆高三第一次模擬考試、數(shù)學(xué)(理) 題型：044

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝aex是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，f－1(x)是它的反函數(shù)．

(1)求曲線y＝f(x)和y＝f－1(x)的斜率為1的切線方程；

(2)設(shè)點P，Q分別是兩曲線y＝f(x)，y＝f－1(x)上的任意一點，求|PQ|上的最小值；

(3)設(shè)點A、B分別是兩曲線y＝f(x)，y＝f－1(x)與坐標軸的交點，且|AB|是分別在兩條曲線上的點連成線段長的最小值，求不等式恒成立時實數(shù)m的取值范圍．

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