Question

6．如圖正方體中，E、F、G分別是AA₁、CC₁、BB₁的中點 （1）求證：B、E、D₁、F四點共面（2）求證：面A₁C₁G∥面BED₁F．

Answer 1

分析 （1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，由向量法得到$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{F{D}_{1}}$，由此能證明B、E、D₁、F四點共面．
（2）由已知得BF∥GC₁，BE∥A₁G，由此能證明面A₁C₁G∥面BED₁F．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設棱長為2，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得B（2，2，0），E（2，0，1），F(xiàn)（0，2，1），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{F{D}_{1}}$=（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{F{D}_{1}}$，
∵BE∥FD₁，
∴B、E、D₁、F四點共面．
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是AA₁、CC₁、BB₁的中點，
∴BF∥GC₁，BE∥A₁G，
∵BE∩BF=B，A₁G∩GC₁=G，
FB?面BED₁F，BF?面BED₁F，A₁G?面A₁C₁G，GC₁?面A₁C₁G，
∴面A₁C₁G∥面BED₁F．

點評 本題考查四點共面的證明，考查面面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．