Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為；

（3）比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出,可得的值，從而得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）由已知，只需證明方程 在區(qū)間有唯一解，先利用導(dǎo)數(shù)證明在區(qū)間單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論；（3）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，即 ，令 即可的結(jié)果.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是，

導(dǎo)函數(shù)為． 所以， 又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

（2）由已知．

所以只需證明方程 在區(qū)間有唯一解．

即方程 在區(qū)間有唯一解．

設(shè)函數(shù) ，則 ．

當(dāng) 時(shí)， ，故在區(qū)間單調(diào)遞增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

（3）．證明如下：首先證明：當(dāng)時(shí)， ．

設(shè) ，則 ．

當(dāng) 時(shí)， ， 所以 ，故在單調(diào)遞增，

所以 時(shí)，有，即當(dāng) 時(shí)，有．

所以 ．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)，屬于難題. 求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.