Question

在數(shù)列{a_n}中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍（n∈N*）．
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1）由已知，=（2n-1）a_n，分別取n=2，3，4，5，
得，，，；
所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，； …（5分）
（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N^*）． …（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立． …（8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)猜想成立，即． …（9分）
那么由已知，得，
即a₁+a₂+a₃+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1．所以（2k²-k）a_k=（2k²+3k）a_k+1，
即（2k-1）a_k=（2k²+3）a_k+1，又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立． …（11分）
綜上①和②知，對(duì)一切n∈N*，都有成立． …（12分）
分析：（1）利用數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍，推出關(guān)系式，通過n=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）通過（1）歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗(yàn)證n=1成立；第二步，假設(shè)n=k猜想成立，然后證明n=k+1時(shí)猜想也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，注意證明中必須用上假設(shè)，考查計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力．