在數(shù)列{an}中，數(shù)學(xué)公式，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍（n∈N*）．
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解：（1）由已知，=（2n-1）an，分別取n=2，3，4，5，
得，，，；
所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，； …（5分）
（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）． …（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立． …（8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)猜想成立，即． …（9分）
那么由已知，得，
即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2-k）ak=（2k2+3k）ak+1，
即（2k-1）ak=（2k2+3）ak+1，又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立． …（11分）
綜上①和②知，對(duì)一切n∈N*，都有成立． …（12分）
分析：（1）利用數(shù)列{an}前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍，推出關(guān)系式，通過(guò)n=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）通過(guò)（1）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗(yàn)證n=1成立；第二步，假設(shè)n=k猜想成立，然后證明n=k+1時(shí)猜想也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，注意證明中必須用上假設(shè)，考查計(jì)算能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

1、已知點(diǎn)（n，an）（n∈N*）都在直線3x-y-24=0上，那么在數(shù)列an中有a7+a9=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+
1n
)，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

14、在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an=
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中a1=
1
2
，a2=
1
5
，且an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)
（1）求a3、a4，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
an•an+1
an
+
an+1
，求證：對(duì)?n∈N*，都有b1+b2+…bn＜
3n-1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一般地，在數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T，使得am+T=am對(duì)任意正整數(shù)m均成立，那么就稱{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），如果x1=1，x2=a，（a≤1，a≠0），設(shè)S2009為其前2009項(xiàng)的和，則當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時(shí)，S2009=
1339+a
1339+a
．

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