對任意復數(shù)z=x+yi(x、y∈R),定義g(z)=3x(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3,求相應(yīng)的復數(shù)z.

(2)若z=a+bi(a、b∈R)中的a為常數(shù),則令g(z)=f(b),對任意b,是否一定有常數(shù)m(m≠0)使得f(b+m)=f(b)?這樣的m是否唯一?說明理由.

(3)計算g(2+i),g(-1+i),g(1+i),并設(shè)立它們之間的一個等式.

思路解析:將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究是解決復數(shù)問題的一種重要思想方法,而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁是復數(shù)相等的條件.此外本題涉及到三角函數(shù)的運算.

解:(1)由

    故z=1+2kπi,k∈Z.

(2)由f(b+m)=f(b),得

∴m=2kπ,k∈Z.∴m是不唯一的.

(3)∵g(2+i)=9(+i),g(-1+i)=(+i),g(1+i)=3i,

∴g(2+i)g(-1+i)=g(1+i).

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對任意復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是( 。
A、|z-
.
z
|=2y
B、z2=x2-y2
C、|z-
.
z
|≥2x
D、|z|≤|x|+|y|

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對任意復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是( 。
A、|z-
.
z
|=2y
B、z2=x2+y2
C、|z-
.
z
|≥2x
D、|z|≤|x|+|y|

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年北京四中高二(下)2月月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

對任意復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是( )
A.|z-|=2y
B.z2=x2+y2
C.|z-|≥2
D.|z|≤|x|+|y|

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年高考數(shù)學試卷精編:14.1 復數(shù)(解析版) 題型:選擇題

對任意復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.z2=x2-y2
C.
D.|z|≤|x|+|y|

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