已知函數(shù)f(x)=
sinπx(0≤x≤1)
log2016x(x>1)
,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是(  )
A、(0,2016)
B、(0,2016]
C、(0,504)
D、(0,504]
考點(diǎn):分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:先判斷函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點(diǎn),利用基本不等式和不等式的性質(zhì),結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想去解決.
解答: 解:當(dāng)0≤x<1時(shí),函數(shù)f(x)=sinπx的對(duì)稱軸為x=
1
2

當(dāng)x>1時(shí),由log2016x=1,解得x=2016.
若a,b,c互不相等,不妨設(shè)a<b<c,
因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c),
所以由圖象可知0<a<
1
2
1
2
<b<1,1<c<2016,
a+b
2
=
1
2
,即a+b=1,
由于a+b>2
ab
,則0<ab<
1
4

因?yàn)?<c<2016,
所以0<abc<504,
所以abc的取值范圍是(0,504).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的對(duì)稱性,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,且3b2=2ac(1+cosB).
(1)證明:a、b、c成等差數(shù)列;
(2)若a=3,b=5,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不等式組
2x+y-6≤0
x+y-3≥0
y≤2
,表示的平面區(qū)域的面積為( 。
A、4B、1C、5D、無(wú)窮大

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩個(gè)正數(shù)a,b的等差中項(xiàng)為
5
2
,等比中項(xiàng)為
6
,且a>b,則橢圓
x2
a
+
y2
b
=1的離心率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=(
1
2
x-x3-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以邊長(zhǎng)1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將正方形旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的側(cè)面積等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2)和點(diǎn)(3,2).
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x∈[2,3]時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是(  )
A、y=
x2-1
x-1
與y=x+1
B、y=lgx與y=
1
2
lgx2
C、y=
x2
-1與y=x-1
D、y=x與y=logaax(a>0且a≠1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個(gè)小的正方體,若將這些小正方體均勻攪拌在一起,則任意取出的一個(gè)小正方體其兩面均涂有油漆的概率是(  )
A、
3
25
B、
12
125
C、
1
10
D、
1
12

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