Question

1．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x³，若對任意的x∈[a，a+2]，f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，則實數a的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用函數奇偶性和單調性之間的關系，解不等式即可．

解答 解：∵當x≥0時，f（x）=x³，
∴此時函數f（x）單調遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數f（x）在R上單調遞增，
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
則x+a≥$\sqrt{2}$x恒成立，
即a≥（$\sqrt{2}$-1）x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴[（$\sqrt{2}$-1）x]_max=（$\sqrt{2}$-1）（a+2），
即a≥（$\sqrt{2}$-1）（a+2），
解得a≥$\sqrt{2}$，
即實數a的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為：[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數單調性的應用：利用單調性處理不等式恒成立問題．將不等式化為f（a）≥f（b）形式是解題的關鍵．