已知a＞0，函數(shù)f（x）=x3-ax.

（1）當a=2時，判斷函數(shù)f（x）在［1，+∞）上的單調(diào)性并證明；

（2）若使f（x）在［1，+∞）上為增函數(shù)，求a的范圍.

解：（1）當a=2時，f（x）=x3-2x，任取x1、x2∈［1，+∞），x1＜x2.

則f（x1）-f(x2)=x13-2x1-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-2）.

∵x2＞x1≥1，∴x1-x2＜0,x12+x1x2+x22＞3,

∴f(x1)-f(x2)＜0,f(x1)＜f(x2),

∴當a=2時 ,f(x)在［1，+∞）上遞增.

（2）設(shè)1≤x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-a）.

要使f（x）在［1，+∞）上遞增，則f（x1）-f（x2）＜0在［1，+∞）上恒成立，

只需x12+x1x2+x22-a＞0恒成立.

又1≤x1＜x2,∴x12+x1x2+x22＞3,

∴0＜a≤3,∴a∈（0,3］.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項的命題中為假命題的是（　�。�
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值．

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已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當a=
1
8
時
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1，4]上的最大值等于
1
2
，則a的值為
 
．

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