甲、乙兩人參加奧運(yùn)知識競賽,假設(shè)甲、乙兩人答對每題的概率分別為
2
3
3
5
,且答對一題得1分,答不對得0分.
(I)甲、乙兩人各答一題,求兩人得分之和ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(II)甲、乙兩人各答兩題,每人每答一題記為一次,求這四次答題中至少有一次答對的概率.
分析:(1)由題意知甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0,1,2.當(dāng)變量取值是0時(shí),表示甲、乙兩人都沒有答對每題;當(dāng)變量取值是1時(shí),表示甲、乙兩人有一個(gè)人答對一個(gè)題;當(dāng)變量取值是2時(shí),表示甲、乙兩人都答對每題,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率做出結(jié)果,寫出分布列,求出期望.
(2)甲、乙兩人各答兩題,每人每答一題記為一次,這四次答題中至少有一次答對的對立事件是甲、乙兩人各答兩題,這四次都沒答對,根據(jù)對立事件的概率公式得到結(jié)論.
解答:解:(I)依題意,記“甲答對一題”為事件A,
“乙答對一題”為事件B
P(A)=
2
3
,P(B)=
3
5
,P(
.
A
)=
1
3
,P(
.
B
)=
2
5

甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0,1,2
∴ξ的分布列為
P(ξ=0)=P(
.
A
)P(
.
B
)=
2
15
;
P(ξ=1)=P(A)P(
.
B
)+P(
.
A
)P(B)=
2
3
×
2
5
+
1
3
×
3
5
=
7
15

P(ξ=2)=P(A)P(B)=
2
3
×
3
5
=
6
15

Eξ=0×
2
15
+1×
7
15
+2×
6
15
=
19
15

∴每人各答一題,兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望為
19
15

(II)“甲、乙兩人各答兩題,這四次都沒答對”的概率為
.
P
=
1
3
×
1
3
×
2
5
×
2
5
=
4
225

∴甲、乙兩人各答兩題,這四次答題中至少有一次答對的概率為
P=1-
.
P
=1-
4
225
=
221
225

即甲、乙兩人各答兩題,這四次答題中至少有一次答對的概率為
221
225
點(diǎn)評:考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力,相互獨(dú)立事件是指,兩事件發(fā)生的概率互不影響,而對立事件是指同一次試驗(yàn)中,不會同時(shí)發(fā)生的事件,遇到求用至少來表述的事件的概率時(shí),往往先求它的對立事件的概率.
練習(xí)冊系列答案
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甲、乙兩人同時(shí)參加奧運(yùn)志愿者選拔賽的考試,已知在備選的10道題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,至少答對2道題才能入選.
(I)求甲答對試題數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(II)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率.

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(2)甲乙各答兩題,求四次至少對一次的概率.

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   (1)求甲答對試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;

   (2)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率.

 

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   (1)求甲答對試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;

   (2)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率.

 

 

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