Question

設(shè)橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且。

（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知

∵
∴
由，得
∴b²=3c²=a²-c²，
故橢圓的離心率。
（2）由（1）知，得
于是
△AQF₂的外接圓圓心為
半徑
所以由已知，得
解得a=2，
∴c=1，
所求橢圓方程為：。
（3）由（2）知 F₂（1，0），l：y=k（x-1）（k≠0）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
由直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，P，M，N不共線知必有Δ>0，故k≠0，且k∈R則，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）
（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
由于菱形對(duì)角線垂直，則
即k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，

∴
∴
故存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的取值范圍是。