Question

某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不能超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：，分析與推導(dǎo)哪個函數(shù)模型能符合該公司的要求？并給予證明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

Answer 1

【答案】分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x•25%，然后一一驗證即可．
解答：解：函數(shù)在[10，1000]內(nèi)單調(diào)遞增，且f₁（1000）=250，，兩者都大于5萬元，因而第一、三兩個模擬函數(shù)顯然不符合公司要求．…（3分）
而對于函數(shù)f₂（x）=log₇x+1，函數(shù)在[10，1000]上也是單調(diào)遞增的，而且，因而符合第一個要求；…（6分）
下面再考慮是否在[10，1000]上恒成立．
令，
則，
從而，則f（x）＜0．
即成立，因而符合公司的第二個要求．
綜上所述，只有模型y=log₇x+1能符合公司要求．…（12分）
點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．