Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，只需討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．
解答：解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：．
又∵當(dāng)x∈（-∞，）時，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（，1）時，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；
∴與x₂=（1分）別為f（x）的極大值與極小值點．
∴f（x）_極大值=；f（x）_極小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞
∴當(dāng)f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時，曲線f（x）與x軸僅有一個交點．
即或a-1＞0，
∴a∈（-∞，）∪（1，+∞）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．