Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，對(duì)任意正整數(shù)n都有6S_n=1-2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log

1

2

a_n，求T_n=

1

b12-1

+

1

b22-1

+…+

1

bn2-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得6a_n=2a_n-1-2a_n，從而a_n=

1

4

an-1，n≥2，由6S₁=6a₁=1-2a₁，得a1=

1

8

，從而數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=

1

4

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=log

1

2

a_n=log

1

2

(

1

2

)2n+1=2n+1，得

1

bn2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此能求出T_n．

解答： 解：（1）∵6S_n=1-2a_n，①
∴6S_n-1=1-2a_n-1，n≥2，②
①-②，得6a_n=2a_n-1-2a_n，
整理，得a_n=

1

4

an-1，n≥2，
由6S₁=6a₁=1-2a₁，解得a1=

1

8

，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=

1

4

，
∴a_n=

1

8

•(

1

4

)n-1=（

1

2

）²ⁿ⁺¹．
（2）∵b_n=log

1

2

a_n=log

1

2

(

1

2

)2n+1=2n+1，
∴

1

bn2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．