設(shè)函數(shù)數(shù)學公式(a,b∈R,a>0)的定義域為R,當x=x1時,取得極大值;當x=x2時取得極小值,|x1|<2且|x1-x2|=4.
(1)求證:x1x2>0;
(2)求證:(b-1)2=16a2+4a;
(3)求實數(shù)b的取值范圍.

(1)證明:f′(x)=ax2+(b-1)x+1,
由題意,f′(x)=ax2+(b-1)x+1=0的兩根為x1,x2

(2)
∴(b-1)2=16a2+4a.
(3)①若0<x1<2,則
∴4a+1<2(1-b),從而(4a+1)2<4(1-b)2=4(16a2+4a)
解得(舍)
,得
②若-2<x1<0,則
∴4a+1<2(b-1),從而(4a+1)2<4(1-b)2=4(16a2+4a)
解得(舍)
,∴
綜上可得,b的取值范圍是
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的形式即可.
(2)利用(1)的二次函數(shù),通過韋達定理,求出x1+x2=.進而證明題設(shè)
(3)分0<x<2和-2<x<0兩種情況,最后取并集.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,綜合分析問題和解決問題的能力.
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(2012•杭州二模)設(shè)定義在區(qū)間(-b,b)上的函數(shù)f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函數(shù)(a,b∈R,且a≠-2),則ab的取值范圍是( 。

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(1,
2
]
(1,
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(3)求實數(shù)b的取值范圍.

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