Question

已知向量

a

=（1，sinx），

b

=（cos（2x+

π

3

），sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)

a

=（1，sinx），

b

=（cos（2x+

π

3

），sinx），求出

a

•

b

；然后根據(jù)函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x，求出函數(shù)f（x）的解析式；最后根據(jù)正弦函數(shù)的特征，求出其單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，然后求出函數(shù)f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

-

1

2

cos2x
=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，
可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
因此sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
所以函數(shù)f（x）的值域是[-

1

2

，0]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的解析式、值域、單調(diào)區(qū)間的求法，以及向量的乘法的運(yùn)用，屬于中檔題．