Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁．
（1）求幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積；
（2）求直線BD₁與面A₁BC₁所成角的大�。�（用反三角表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，圖示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁是由過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁得到，故，將AB=BC=2，AA₁=4代入即可得到答案．
（2）解以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，進而求出直線BD₁的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入直線與平面夾角的向量法公式，即可求出答案．
解答：解（1）（5分）
（2）解以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
由題意：B（2，2，0），D₁（0，0，4），A₁（2，0，4），C₁（0，2，4），（7分）
，，，
設(shè)面A₁BC₁的法向量是，則
取v=2得，（10分）
設(shè)與的夾角為φ，
則
設(shè)直線BD₁與面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=（12分）
得直線BD₁與面A₁BC₁所成的角為（13分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，組合幾何體的體積，直線與平面所成的角，其中熟練掌握棱柱、棱錐的幾何特征，準(zhǔn)確分析出組合體的組成是解答本題的關(guān)鍵．