Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為常數(shù)）．若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x．由已知條件推導(dǎo)出a≥

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]）
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），
又g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=-1，
∴a的取值范圍是[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．