Question

已知動點P（x，y）與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（1）求動點P的軌跡C方程；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論C的形狀．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程求出其兩個焦點的坐標，再由kPF1•kPF2=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，整理求出動點P的軌跡C的方程；
（2）根據(jù)λ的不同取值范圍，結合圓與圓錐曲線的定義得答案．

解答：解：（1）由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得其兩個焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
又動點P（x，y）與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
∴kPF1•kPF2=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）；
（2）①當λ＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）；
②當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）；
③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1的半徑的圓除去點（-1，0），（1，0）；
④當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，考查了圓錐曲線的定義，注意分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．