Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，若不等式f（x）＜2x的解集為（-2，0）．
（1）求b，c的值；
（2）若函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求g（x）的解析式；
（3）若h（x）=f（x）-λg（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用x=0，x=2是x²+（b-2）x+c=0的兩個(gè)根，
（2）根據(jù)g（x）=-f（-x）求解即可．
（3）h（x）=f（x）-λg（x）=（1+λ）x²+（4-4λ）x，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸，開口方向判斷即可，得出
當(dāng)λ=-1時(shí)，h（x）=8x，在[-1，1]上是增函數(shù)，

1+λ＞0 - 4-4λ 2(1+λ) ≤-1

或

1+λ＜0 - 4-4λ 2(1+λ) ≥1

，求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，若不等式f（x）＜2x的解集為（-2，0）．
x=0，x=2是x²+（b-2）x+c=0的兩個(gè)根
∴b=4，c=0，
（2）f（x）=x²+4x，
∵函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（3）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-λg（x）=（1+λ）x²+（4-4λ）x，
當(dāng)λ=-1時(shí)，h（x）=8x，在[-1，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)λ≠-1時(shí)，在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴

1+λ＞0 - 4-4λ 2(1+λ) ≤-1

或

1+λ＜0 - 4-4λ 2(1+λ) ≥1

，
即-1＜λ≤

1

3

或λ＜-1，
綜上：λ≤

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求解函數(shù)解析式，參變量的值的問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化問題求解．