【題目】已知二次函數(shù)f(x)=mx2﹣2x﹣3,關于實數(shù)x的不等式f(x)≤0的解集為(﹣1,n)
(1)當a>0時,解關于x的不等式:ax2+n+1>(m+1)x+2ax;
(2)是否存在實數(shù)a∈(0,1),使得關于x的函數(shù)y=f(ax)﹣3ax+1(x∈[1,2])的最小值為﹣5?若存在,求實數(shù)a的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集為(﹣1,n)知
關于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的兩根為﹣1和n,且m>0
由根與系數(shù)關系,得 ∴ ,
所以原不等式化為(x﹣2)(ax﹣2)>0,
①當0<a<1時,原不等式化為 ,且 ,解得 或x<2;
②當a=1時,原不等式化為(x﹣2)2>0,解得x∈R且x≠2;③
④當a>1時,原不等式化為 ,且 ,解得 或x>2;
綜上所述
當0<a≤1時,原不等式的解集為 或x<2};
當1<a<2時,原不等式的解集為{x|x>2或 .
(2)解:假設存在滿足條件的實數(shù)a,
由(1)得:m=1,
∴f(x)=x2﹣2x﹣3,
∴y=f(ax)﹣3ax+1
=a2x﹣2ax﹣3﹣3ax+1
=(ax)2﹣(3a+2)ax﹣3,
令ax=t,(a2≤t≤a),
則y=t2﹣(3a+2)t﹣3
∴對稱軸為:t= ,
又0<a<1,
∴a2<a<1,1< < ,
∴函數(shù)y=t2﹣(3a+2)t﹣3在[a2,a]遞減,
∴t=a時,y最小為:y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5,
解得:a= ,
【解析】(1)根據(jù)韋達定理得方程組求出m,n的值,再通過討論a的范圍,從而求出不等式的解集;(2)把m=1代入方程,得出y=(ax)2﹣(3a+2)ax﹣3,令ax=t,(a2≤t≤a),則y=t2﹣(3a+2)t﹣3,得出函數(shù)的單調性,從而表示出y=f(t)的最小值,進而求出a的值.
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質,需要了解當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿足 , ,則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上的“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.( )
C.( ,1)
D.( ,1)
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【題目】已知圓C的圓心是直線x﹣y+1=0與x軸的交點,且圓C與(x﹣2)2+(y﹣4)2=9相外切,若過點P(﹣1,1)的直線l與圓C交于A,B兩點,當∠ACB最小時,弦AB的長為( )
A.4
B.
C.2
D.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1 , D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D 不同于點C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點.求證:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線A1F∥平面ADE.
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【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(Ⅲ)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ,求線段AM的長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向左平移 個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若使|f(x1)﹣g(x2)|=2成立x1 , x2的滿足 ,則φ的值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】分別根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過兩點(0,4),(4,6),且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上;
(2)半徑為 ,且與直線2x+3y﹣10=0切于點(2,2).
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【題目】某機床廠今年初用98萬元購進一臺數(shù)控機床,并立即投入使用,計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元,從第二年開始,每年的維修、保養(yǎng)修費用比上一年增加4萬元,該機床使用后,每年的總收入為50萬元,設使用x年后數(shù)控機床的盈利總額y元.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)從第幾年開始,該機床開始盈利?
(3)使用若干年后,對機床的處理有兩種方案:①當年平均盈利額達到最大值時,以30萬元價格處理該機床;②當盈利額達到最大值時,以12萬元價格處理該機床.問哪種方案處理較為合理?請說明理由.
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