【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立，記.

(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求證：①對(duì)恒成立.②對(duì)恒成立，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(3)記，為的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有.

【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用遞推關(guān)系式證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）①利用（1）中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)，由此證得.

②將分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，利用分組求和法，證得對(duì)恒成立.

（3）化簡(jiǎn)，得到，利用放縮法證得.

(1)解：當(dāng)時(shí)，，∴.

又∵，，

∴，即，

∴數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比，

∴，∴；

(2)證明：①由(1)知.

注意到，所以

∵；

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，

則；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，

則，

∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有；

(3)證明：由(1)知，

得

.

又，，∴，

∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線及圓．

（1）求直線所過定點(diǎn)；

（2）求直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比，并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.

（1）求圖中的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)一等品的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列與正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，若，求；

（3）若對(duì)任意，恒有及成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列五個(gè)命題：①過點(diǎn)的直線方程一定可以表示為的形式；②過點(diǎn)且在x，y軸截距相等的直線方程是；③過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是；④設(shè)點(diǎn)不在直線上，則過點(diǎn)M且與直線l平行的直線方程是；⑤點(diǎn)到直線的距離不小于2.以上命題中，正確的序號(hào)是( )

A.②③⑤B.④⑤C.①④⑤D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將4名大學(xué)生隨機(jī)安排到A,B,C,D四個(gè)公司實(shí)習(xí)．

（1）求4名大學(xué)生恰好在四個(gè)不同公司的概率；

（2）隨機(jī)變量X表示分到B公司的學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

（1）求的外接圓圓M的方程；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線PE,PF，切點(diǎn)分別為E,F.

①記四邊形PEMF的面積分別為S，求S的最小值；

②證明直線EF恒過定點(diǎn).

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同步練習(xí)冊(cè)答案