【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）（2）（3）數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用及公式,代入后可證明數(shù)列為等比數(shù)列.結(jié)合求得,即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）先表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得求得后代入.即可求得的值.

（3）假設(shè)數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.設(shè)第m,n,k（）項(xiàng)成等差數(shù)列,代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)變形,構(gòu)造函數(shù),證明在上的單調(diào)性,化簡(jiǎn)變形可得矛盾,從而證明數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.

（1）1°當(dāng)時(shí),,解得.

2°當(dāng)時(shí),,即.

因?yàn)?/span>,所以,從而數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

所以.

（2）因?yàn)?/span>,所以,故數(shù)列是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,

從而,

而,

所以.

（3）不存在.理由如下.

假設(shè)中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)第m,n,k（）項(xiàng)成等差數(shù)列,

則,即.

因?yàn)?/span>,且m,n,,所以.

令（）,則,顯然在上是增函數(shù),

所以,即,

所以,

所以,其左邊為負(fù)數(shù),右邊為正數(shù),故矛盾,

所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓C的方程；

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（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求的長(zhǎng)度最短，求此時(shí)綠地公共走道的長(zhǎng)度.

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