Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，且對任意大于1的正整數(shù)n，點（ $\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$ ）在直線x-y-$\sqrt{3}$=0上，
（1）求a_n；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前n項和，若3T_n＜λ對n∈N^*恒成立，求整數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過將點（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）代入直線x-y-$\sqrt{3}$=0、化簡可知$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{3}$，進而可知數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是首項、公差均為$\sqrt{3}$的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$n，裂項可知$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加可知T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），通過3T_n＜λ對n∈N^*恒成立可知問題即求1-$\frac{1}{n+1}$的最大值，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）在直線x-y-$\sqrt{3}$=0上，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$-$\sqrt{3}$=0，即$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{3}$，
又∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{3}$，
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是首項、公差均為$\sqrt{3}$的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$+（n-1）$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$n，
∴a_n=3n²；
（2）由（1）可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{3}$n，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
又∵3T_n＜λ對n∈N^*恒成立，
∴1-$\frac{1}{n+1}$＜λ對n∈N^*恒成立，
∴整數(shù)λ的最小值為1．

點評 本題考查數(shù)列的求和及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．