Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為a和b，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若從區(qū)間[0，6]中隨機(jī)取兩個數(shù)a和b，求上述方程有實(shí)根且a²+b²≤36的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：記事件A=“方程x²-2ax+b²=0有實(shí)根”．由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²，當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x²-2ax+b²=0有實(shí)根?a≥b．
（1）基本事件共6×6=36個，其中事件A包含21個基本事件，由此能求出方程有實(shí)根的概率．
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面積為S=3×2=6，又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，其面積為S′=3×2-

1

2

×22=4，由此能求出方程有實(shí)根的概率．

解答： 解：記事件A=“方程x²-2ax+b²=0有實(shí)根”．
由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²
所以，當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根?a≥b（2分）
（1）基本事件共6×6=36個，
其中事件A包含21個基本事件：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
所以P（A）=

21

36

=

7

12

（6分）
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6}，
其面積為S=6×6=36．
又構(gòu)成事件“方程有實(shí)根且a²+b²≤36”的區(qū)域面積為

1

4

π×62=9π，
所以 P（A）=

9π

36

=

π

4

（10分）

點(diǎn)評：本題考查古典概率、幾何概型及其運(yùn)算公式，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，找出構(gòu)成事件的區(qū)域表示，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．