Question

8．如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB中點，PA=AD=2，AB=1．
（1）求證：PD∥面ACM；
（2）求V_D-PMC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，設(shè)BD與AC交于點O，連結(jié)OM，利用中位線定理及線面平行的判定定理即可；
（2）通過線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD，M為PB中點，V_D-PMC=$\frac{1}{2}$V_D-PBC=$\frac{1}{2}$V_P-DBC，計算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)BD，設(shè)BD與AC交于點O，連結(jié)OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點O為BD的中點，
∵M(jìn)為PB的中點，∴OM為△PBD的中位線，
∴OM∥PD，
∵OM?平面ACM，PD?平面ACM，
∴PD∥平面ACM；
（2）解：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，
∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∵M(jìn)為PB中點，
∴V_D-PMC=$\frac{1}{2}$V_D-PBC=$\frac{1}{2}$V_P-DBC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，棱錐體積公式，考查空間想象能力、計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．