Question

將函數(shù)f（x）=

2 3 cosx-2sinx

5+2cos2x-2 3 sinxcosx

+2的圖象先向右平移

π

6

個單位，再向下平移兩個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）化簡f（x）的表達式，并求出函數(shù)g（x）的表示式；
（2）指出函數(shù)g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)性和最大值；
（3）已知A（-2，

3

2

），B（2，

9

2

），問在y=g（x）的圖象上是否存在一點P，使得

AP

⊥

BP

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理求得f（x）的表達式，進而通過圖象的平移求得g（x）的解析式．
（2）對函數(shù)進行分類討論，在x=±

π

2

，（-

π

2

，0]，[0，

π

2

）上的最大值及單調(diào)性．
（3）以AB為直徑作圓，利用g（x）的范圍推斷出g（x）與圓只有一個交點，進而求得P．

解答： 解：（1）f（x）=

2 3 cosx-2sinx

5+2cos2x-2 3 sinxcosx

+2=

2cos(x+ π 6 )

3+cos(2x+ π 3 )

+2，
依題意g（x）=f（x-

π

6

）-2，
∴g（x）=

2cosx

3+cos2x

=

cosx

cos2x+1

（2）g（±

π

2

）=0，
當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

，
（i）當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，1≥cosx＞0
cosx+

1

cosx

≥2，當cosx=

1

cosx

時，等號成立，此時cosx=1，x=0
∴0＜g（x）≤

1

2

，
∴g（x）的最大值為

1

2

，
令t=cosx，則0≤t＜1，y=

1

t

+t
令t₁＞t₂，則f（t₁）-f（t₂）=（t₁-t₂）+（

1

t1

-

1

t2

）=

(t1-t2)(t1t2-1)

t1t2

＜0，
∴函數(shù)y=

1

t

+t在（0，1）上單調(diào)減，
①在（-

1

2

，0）上y=cosx為增函數(shù)，y=t+

1

t

為減函數(shù)
∴y=cosx+

1

cosx

為減函數(shù)，則g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

為增函數(shù)
②在[0，

1

2

）上y=cosx為減函數(shù)，y=t+

1

t

為減函數(shù)
則y=cosx+

1

cosx

為增函數(shù)，則g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

為減函數(shù)
（3）∵由（1）知g（x）≤

1

2

，且g（0）=

1

2

，所以圓x²+（y-3）²=（

5

2

）²與y=g（x）圖象有唯一交點P（0，

1

2

）．
∴在y=g（x）圖象上存在點P（0，

1

2

）使

AP

⊥

BP

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性等問題．注意符合函數(shù)在單調(diào)性上同增異減的口訣．