Question

12．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲線f（x）=sinx和余弦曲線g（x）=cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$．

Answer 1

分析 利用定積分計(jì)算公式，算出曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域包含在區(qū)域D內(nèi)的圖形面積為S=2π，再由定積分求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式加以計(jì)算即可得到所求概率

解答 解：根據(jù)題意，可得曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域，
其面積為${∫}_{\frac{π}{4}}^{π}（sinx-cosx）dx$=（-cosx-sinx）|${\;}_{\frac{π}{4}}^{π}$=1-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$；
又矩形ABCD的面積為2π，
由幾何概型概率公式得該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$；
故答案為：$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出區(qū)域和正余弦曲線圍成的區(qū)域，求點(diǎn)落入指定區(qū)域的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)．