Question

20．已知a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），下列各式中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①a²+a^-2=7；②a³+a^-3=18；③a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{5}$；④a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=2$\sqrt{5}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），可得：a²+a^-2=$（a+\frac{1}{a}）^{2}$-2；a³+a^-3=（a+a^-1）（a²+a^-2-1）；$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2；a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=$（a+{a}^{-1}）（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）$-（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$），即可判斷出正誤．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3（a＞0），
∴a²+a^-2=$（a+\frac{1}{a}）^{2}$-2=3²-2=7，因此①正確；
a³+a^-3=（a+a^-1）（a²+a^-2-1）=3×（7-1）=18，因此②正確；
∵$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2=3+2=5，a＞0，解得a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，因此③不正確；
∵a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{a\sqrt{a}}$=$（a+{a}^{-1}）（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）$-（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）=3$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，因此④正確．
正確的個(gè)數(shù)為3．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了乘法公式、根式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．