Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，點E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求證：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，AD⊥CD，

∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC平面PBC，PB平面PBC，BC∩PB=B，

∴CD⊥平面PBC，

又CD平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBC

（2）證明：連結BD交AC于O，連結EO．

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴ ，

又PE=2ED，即 ，

∴OE∥PB，

∵OE平面EAC，PB平面EAC，

∴PB∥平面AEC．

【解析】（1）由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；（2）連結BD交AC于O，連結EO．利用三角形相似得出 ，從而得到OE∥PB，得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握平面與平面平行的判定(判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行)的相關知識才是答題的關鍵．