Question

【題目】當(dāng)n為正整數(shù)時，函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（3）=3，N（10）=5，…，設(shè)Sn=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2n﹣1）+N（2n），則Sn= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當(dāng)x是偶數(shù)時，參看下面的討論， 因此由這樣一個性質(zhì)，我們就可將Sn進(jìn)行分解，分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加，即Sn=S奇+S偶 ，
∴S奇=N（1）+N（3）+…+N（2n﹣1）=1+3+…2n﹣1= =4n﹣1
當(dāng)x是偶數(shù)時，且x∈[2k ， 2k+1）①當(dāng)k=1時，x∈[2，4）該區(qū)間包含的偶數(shù)只有2，而N（2）=1所以該區(qū)間所有的偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T1=1
②當(dāng)k=2時，x∈[4，8），該區(qū)間包含的偶數(shù)為4，6，所以該區(qū)間所有的最大奇因數(shù)偶數(shù)之和為T2=1+3=4
③當(dāng)k=3時，x∈[8，16），該區(qū)間包含的偶數(shù)為8，10，12，14，則該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T3=1+3+5+7=16，因此我們可以用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)x∈[2k ， 2k+1）該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和Tk=4k﹣1 ．
∴對k從1到n﹣1求和得T1+T2+…+Tn﹣1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn﹣1+N（2n）=
綜上可知Sn=S奇+S偶=4n﹣1+ =
所以答案是
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．