Question

11．已知方程4^x+2（m-1）2^x+2m+6=0在[0，+∞）上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 由參數(shù)分離可得-2m=$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$，令t=2^x+1（t≥2），則2^x=t-1，對(duì)右邊化為t的函數(shù)，運(yùn)用基本不等式可得最值，解m的不等式可得m的范圍．

解答 解：方程4^x+2（m-1）2^x+2m+6=0在[0，+∞）上有實(shí)根，即為-2m=$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$，
令t=2^x+1（t≥2），
則2^x=t-1，
即有$\frac{{4}^{x}-2•{2}^{x}+6}{{2}^{x}+1}$=$\frac{（t-1）^{2}-2（t-1）+6}{t}$=t+$\frac{9}{t}$-4≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$-4=2，
當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，取得等號(hào)．
即有-2m≥2，解得m≤-1．
即有m的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的關(guān)系，注意運(yùn)用分離參數(shù)方法和基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．