Question

16．分別求出滿(mǎn)足下列等式的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）a_n=2n+1-2ⁿ；
（2）a_n=2n+1-（-1）ⁿ；
（3）a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（4）a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n=2n+1-2ⁿ，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=2n+1-（-1）ⁿ，分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)兩種情況討論即可；
（3）通過(guò)裂項(xiàng)可知a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論；
（4）通過(guò)裂項(xiàng)可知a_n=log₃n-log₃（n+1），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=2n+1-2ⁿ，
S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+n-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=n²+2n+2-2ⁿ⁺¹；
（2）∵a_n=2n+1-（-1）ⁿ，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+2=n²+n+2，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n+2，}&{n為奇數(shù)}\\{{n}^{2}+n，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（4）∵a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），
∴S_n=log₃1-log₃2+log₃2-log₃3+…+log₃n-log₃（n+1）
=log₃1-log₃（n+1）
=0-log₃（n+1）
=$lo{g}_{3}\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．