Question

已知二次函數(shù)，關(guān)于x的不等式的解集為，其中m為非零常數(shù).設(shè).

(1)求a的值；

(2)如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；

(3)若m=1，且x>0，求證：

 

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分

(其中, )（3）見解析

【解析】（1）【解析】
∵關(guān)于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定義域?yàn)?/span>.

∴. ………3分

方程（*）的判別式

.………4分

①當(dāng)時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為

………5分

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn). ………6分

②當(dāng)時(shí)，由,得或，

若，則

故時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)沒有極值點(diǎn).………7分

若時(shí)，

則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn). ………8分

綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定義域?yàn)?/span>.

∴. ………3分

若函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且

至少有一個(gè)零點(diǎn)在上. ………4分

令,

得, (*)

則,(**)…………5分

方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .

設(shè),

①若,則,得,此時(shí),取任意實(shí)數(shù), (**)成立.

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn). ………6分

②若,則得

又由(**)解得或,

故.………7分

則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn). ………8分

綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分

(其中, )

（3）∵， ∴.

∴

. ………10分

令，

則

.

∵，

∴…11分

12分

.………13分

∴，即. ……………14分

證法2：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；

………10分

②假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，

則

………11分

………12分

. ………13分

也就是說，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.

由①②可得，對(duì)N，都成立. …14分